Der uralte Mechanismus des Sternentors hatte ihm gute Dienste geleistet,
aber es würde sie nicht mehr benötigen. Die Flammen des Infernos
vermochten dem Kind nichts anzuhaben. Immernoch schwebte die schimmernde
rechteckige Erscheinung vor ihm her; sie barg in sich unerforschte Geheimnisse
von Raum und Zeit. Aber einige zumindest verstand das Kind und glaubte sie
zu beherrschen. Wie selbstverständlich - wie notwendig! - war das
mathematische Seitenverhältnis des Monoliths, die quadratische Folge
von 1 : 4 : 9! Und wie naiv, anzunehmen, daß die Serie in nur drei
Dimensionen enden würde!
(Arthur C. Clarke, "2001 - Odyssee im Weltraum", 1969, Heyne 1978)


Pierre de Fermat

Die Geheimnisse der Potenzen ganzer Zahlen

Fermat Portrait nach Francois de Poilly

Pierre de Fermat (1601-1665), Mathematiker

Pierre de Fermat wurde am 17. August 1601 in Beaumont de Lomagne, Frankreich geboren. Dieser Geburtstag ist nicht ganz gesichert, bezieht sich aber darauf, daß die Taufe am 20. August erfolgte. Er studierte Rechtswissenschaften und wurde im Alter von 30(33?) Jahren Rat am Gericht in Toulouse. Was die Mathematik betrifft, so war Fermat Amateur und wohl auch Autodidakt. Seine Quellen waren unter anderem griechische Texte der Mathematik, vor allem das Buch "Arithmetika" von Diophantos von Alexandria, in dem Probleme der Mathematik des Altertums aufgeführt waren.

Trotz des Amateurstatus gilt Fermat neben Descartes (1596-1650) als einer der größten Mathematiker seines Jahrhunderts, mit ihm als Entwickler der Achsengeometrie und damit als Begründer der analytischen Geometrie. Er war einer der "Pioniere" in der Infinitesimalrechnung, denn er erarbeitete sich Methoden der Integration von Potenzen mit ganzen und gebrochenen Exponenten und konnte damit eine Reihe von Tangentenproblemen, also die Integration von Kurven, das Finden von Maxima und Nullstellen und mehr lösen. Er pflegte Korrespondenz mit einigen berühmten Zeitgenossen, darunter (neben Descartes) auch Blaise Pascal und Christiaan Huygens.

Für die Astronomie war Fermat zusätzlich von Bedeutung, indem er formulierte, daß ein Lichtstrahl bei der Umlenkung durch Spiegel oder Prisma den Weg nimmt, der die kürzeste Zeit erfordert. Diese physikalische Eigenschaft wird "Fermatsches Prinzip" genannt und erklärt die Refraktion, also die Brechung des Lichts in Medien.

Ebenfalls nach dem französischen Mathematiker ist der Satz benannt, nach dem ap-1-1 immer durch die Primzahl p ganzzahlig teilbar ist, wenn a eine natürliche, nicht durch p teilbare Zahl ist. Für p=7 und a=6 ergibt sich zum Beispiel 66-1=46655 und 46655/7=6665, für p=7 und a=8 ergibt sich 86-1=262143 und 262143/7=37449, aber für p=7 und a=7 ergibt sich 76-1=117648 und 117648/7=16806Rest6. Die allgemeine Form dieser seltsamen Gegebenheit der Zahlen wird der "kleine Fermatsche Satz" genannt.

Aber es war ein anderes Problem der analytischen Geometrie, das Fermat berühmt werden ließ. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a2 + b2 = c2. Für diese Gleichung gibt es unzählige ganzzahlige Lösungen, so ist 32 + 42 = 52 oder 72 + 242 = 252 oder 102 + 242 = 262. Was ist aber, wenn man statt der zweidimensionalen Quadrate an einem rechtwinkligen Dreieck drei- oder mehrdimensionale Figuren nimmt? - Fermats große Vermutung bzw. der große Fermatsche Satz besagt, daß


   an + bn <> cn für n>2, a,b,c>0 und n,a,b,c ganzzahlig.   

Oder anders formuliert: Es gibt keine ganzzahlige Lösung ohne Nullwert für die Gleichung an + bn = cn, wenn n ganzzahlig und größer als 2 ist. Fermat behauptete, einen wunderbaren Beweis für diese Ungleichung zu besitzen, schrieb diesen aber nie nieder. Möglicherweise hatte er sogar einen Fehler in seinem Beweis gefunden, denn er formulierte eine speziellere Form des Theorems als "Cubum autem in duos cubos" - "Ein Würfel ist nicht in zwei Würfeln" oder c3 <> a3 + b3. Vielleicht dachte er bei dieser speziellen Form des Theorems aber auch nur daran, sie seinen Zeitgenossen und Mathematikern als Aufgabe zu stellen, wie er es vorher schon oft mit anderen von ihm gelösten Problemen getan hatte. Er starb am 12. Januar 1665 in Caustres bei Toulouse. Einige seiner Briefe und die Randnotizen in Büchern wurden von seinem Sohn Clement Samuel de Fermat veröffentlicht, wodurch auch der große Fermatsche Satz bekannt wurde.

Viele Mathematiker danach versuchten, die allgemeine Form des letzten Satz Fermats zu beweisen oder zu widerlegen, so unter anderem Gauß (1777-1855) und Euler (1707-1783). Euler widerlegte allerdings durch ein Gegenbeispiel eine andere Behauptung Fermats, nämlich daß alle Zahlen aus y = 2m+1 Primzahlen seien, wenn m=2k. So ist für k=5 m=32 und damit y=232+1 = 4.294.367.297. 4.294.367.297 ist aber auch das Produkt der zwei Zahlen 6.700.417 und 641, womit 4.294.367.297 keine Primzahl ist.

Fast dreihundertfünfzig Jahre sollte es dauern, bis Fermats großes Theorem bewiesen werden sollte. 1994 zeigte Dr. Andrew Wiles, Professor an der Cambridge Universität in England nach sieben Jahren Vorarbeit und einigen Problemen mit Hilfe mehrerer aktueller Beweise in der theoretischen Geometrie die Annahme, daß elliptische Kurven gleichzeitig modulare Formen sind. Diese Annahme impliziert Fermats Ungleichung, und durch eine vorher gefundene Umkehrbarkeit der Implikation wurde der Beweis der Annahme, daß elliptische Kurven modular sind auch ein Beweis dafür, daß an+bn<>cn für n>2 und n,a,b,c ganzzahlig gilt.

(Für Einzelheiten zum Beweis der Fermatschen Ungleichung siehe auch das Skript zur Sendung Fermat's Last Theorem, Horizon, BBC in englisch. Weitere Quelle des obigen Textes ist Krafft/Meyer-Abich (Hrsg.), "Große Naturwissenschaftler - Biographisches Lexikon", Fischer 1970.)


Seitenhistorie:
erstellt 1999-11-24 als himmel.01.08.html
geändert 2000-02-04 zu Fermat.html
geändert 2011-08-20 Bild hinzugefügt und Link zur USM entfernt

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